反常积分

理解

开区间，无法正常收敛于一点，需要突破一般积分的有界性和有穷性。

两类反常积分

无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ ：函数定义在 $[a,\infty)$上，且对于任意的有限区间$[a,u]$ 均可只因，那么

\int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim\limits_{u \rightarrow +\infty}\int_a^{u} f(x) \, dx

$-\infty$ 的情况类似，而 $(-\infty,+\infty)$ 则可通过分段法求：

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^a f(x) \, dx + \int_a^{+\infty} f(x) \, dx

瑕积分 $\int_a^{b} f(x) \, dx$，定义在 $[a,b)$ 上，且对于任意的有限区间 $[a,u] (u\in [a,b))$ 均可积，则：

\int_a^{b} f(x) \, dx = \lim\limits_{u \rightarrow b}\int_a^{u} f(x) \, dx

无穷积分的性质

【定理11.1】无穷积分的柯西准则

无穷积分收敛 $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists G \geq a, st. \forall u_1, u_2 > G,$

\bigg|\int_a^{u_2} f(x) \, dx - \int_a^{u_1} f(x) \, dx \bigg| = \bigg|\int_{u_1}^{u_2} f(x) \, dx\bigg| < \varepsilon

常用其否定形式证发散。

注： $\inta^{+\infty} f(x) \, dx\space 收敛 \nRightarrow \lim\limits{x \rightarrow +\infty}f(x) = 0$，一种反例就是用柯西形式和换元积分求$\color{orange}{\int_1^{+\infty} \cos x^2 \, dx \text{（存疑，该函数明显不收敛）}}$

【性质1】 无穷积分的线性加法

两者都收敛 $\Rightarrow$ 收敛

【性质2】 无穷积分的广义积分区间可加性

同敛态（同时收敛或发散）

应用：

\begin{aligned}
\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\space 收敛 &\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists G \geq a, st. \forall u > g,\bigg| \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \bigg| < \varepsilon \\
&\Leftrightarrow \lim\limits_{u \rightarrow + \infty} \int_u^{+\infty} f(x) \, dx = 0
\end{aligned}

对应用的证明：

$\Rightarrow$：广义积分区间可加性，变成极限的$A = A + 0$形式；

$\Larr$：反向的无穷积分柯西准则。

【性质3】 绝对积分判断收敛（绝对值不等式）

\int_a^{+\infty} \big| f(x) \big| \, dx \space 收敛 \rArr \int_{u_1}^{u_2} f(x) \, dx \space 收敛

并有

\bigg| \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \bigg| \leq \int_a^{+\infty} \big| f(x) \big| \, dx

其反向形式一般不成立，若 $\int_{u_1}^{u_2} f(x) \, dx $ 收敛而 $\int_a^{+\infty} \big| f(x) \big| \, dx$ 不收敛，则被称之为条件收敛。

例： $\int_a^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} \, dx \,(0 < p \leq \frac{1}{2})$ 即为一个较为经典的条件收敛。

注： 换元积分法 和 分部积分法 对于无穷积分依然适用。

无穷积分的敛散判别

【定理11.2】比较原则 （放 缩、并且函数非负）

概括：在$\color{orange}{非负函数f(x),g(x)}$可积的前提下，$\forall x \in [a,+\infty), f(x) \leq g(x)$，则有：

• $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx \space 收敛 \Rightarrow \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \space 收敛$；
• $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx \space 发散 \Rightarrow \int_a^{+\infty} g(x) \, dx \space 发散$；

★推论1： 若 $\color{orange}{f(x) \geq 0, g(x) > 0}$ ，且 $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = c$，则：

• 若 $c \in (0,+\infty)$ ，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 与 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ 同敛态；
• 若 $c = 0$ ，则 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx \space 收敛 \Rightarrow \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \space 收敛$ ；
• 若 $c = +\infty$ ，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx \space 发散 \Rightarrow \int_a^{+\infty} g(x) \, dx \space 发散$ 。

★推论2： 对于域上的$x$，有

• 若 $\color{orange}0 \leq f(x) \leq \frac{1}{x^p}$ ，且 $p > 1$ ，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛；
• 若 $\color{orange}f(x) \geq \frac{1}{x^p}$ ，且 $p \leq 1$ ，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 发散；

关注“ $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx$ 的敛散性“谢谢喵~

★推论3： 额外要求$\color{orange}{f(x)为非负函数}$，对于：

\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} x^pf(x) = \lambda

则有

• 当 $p > 1, 0 \leq \lambda < +\infty$ 时， $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛；
• 当 $p \leq 1, 0 < \lambda \leq +\infty$ 时， $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 发散；

{常用结论}

\lim\limits_{x \rightarrow +\inf} \frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} = 0 (\forall \alpha > 0, \forall \beta \in \mathbf{R}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow +\inf} \frac{x^\alpha}{e^\beta} = 0 (\forall \alpha > 0) \\
\lim\limits_{x \rightarrow +\inf} \frac{x^\alpha}{a^\beta} = 0 (\forall \alpha > 0, a > 1)

【定理11.3】 狄利克雷(Dirichlet)判别法（一般）

若 $F(u) = \int_a^{u} f(x) \, dx \space $ 在 $[a,+\infty)$ 上 有界， $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上 $x \rightarrow + \infty$ 时 $\color{orange}单调趋于0$ ，那么 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x) \, dx$ 收敛。

【定理11.4】 阿贝尔(Abel)判别法（一般）

若 $F(u) = \int_a^{u} f(x) \, dx \space \color{orange}收敛$， $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上 $x \rightarrow + \infty$ 时 单调有界 ，那么 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x) \, dx$ 收敛。

瑕积分的性质

【定理11.5】瑕积分的柯西准则

瑕积分$\int_a^{b} f(x) \, dx$，暇点为 $a$ ，收敛 $\lrArr \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, st. \forall u_1, u_2 \in (a,a+\delta),$

\bigg|\int_a^{u_2} f(x) \, dx - \int_a^{u_1} f(x) \, dx \bigg| = \bigg|\int_{u_1}^{u_2} f(x) \, dx\bigg| < \varepsilon

【性质1】 瑕积分的线性加法

（照抄，注意需要都收敛）

【性质2】 瑕积分的广义积分区间可加性

（照抄，注意需要同敛态）

应用：

\begin{aligned}
\int_a^{b} f(x) \, dx\space ，暇点为 a ，收敛 \Leftrightarrow \space &\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0,s.t. \forall u \in (a,a+\delta) \\
&\bigg| \int_a^{u} f(x) \, dx \bigg| < \varepsilon \\
\end{aligned}

【性质3】 绝对积分判断收敛（绝对值不等式）

（照抄）

瑕积分的敛散判别

【定理11.6】比较原则 （放 缩、并且函数非负）

（照抄，注意 $\color{orange}非负$ 性）

★推论1： 分数法 （有变化）

若 ${f(x) \geq 0, g(x) > 0}$ ，且 $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = c$，则：

• 若 $c \in (0,+\infty)$ ，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 与 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ 同敛态；
• 若 $c = 0$ ，则 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx \space 收敛 \Rightarrow \int_a^{+\infty} f(x) \, dx \space 收敛$ ；
• 若 $c = +\infty$ ，则 $\int_a^{+\infty} \color{orange}g(x) \, dx$ 发散 $\Rightarrow \int_a^{+\infty}$ $\color{orange}f(x) \, dx $ 发散 。

★推论2： 柯西判别法 比较对象有变化

对于域上的$x$，有

• 若 $0 \leq f(x) \leq \color{orange}\frac{1}{(x-a)^p}$ ，且 $\color{orange}0 < p < 1$ ，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛；
• 若 $f(x) \geq \color{orange}\frac{1}{(x-a)^p}$ ，且 $\color{orange}p \geq 1$ ，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 发散；

需要关注的对象变成了“ $\int_a^{b} \frac{1}{(x-a)^p} \, dx$ ， $\color{orange}a是暇点$ 的敛散性”，同时注意虽然比较对象和p的区间变了，但 $p=1$ 一直在发散的情况里出现。

★推论3： 额外要求$\color{orange}{f(x)为非负函数}$，对于：

\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} (x-a)^pf(x) = \lambda

则有

• 当 $0 < p < 1, 0 \leq \lambda < +\infty$ 时， $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛；
• 当 $p \geq 1, 0 < \lambda \leq +\infty$ 时， $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 发散；

推论的推论：

• $0 < \lambda < +\infty，且原积分收敛 \Leftrightarrow 0 < p < 1$
• $0 < p < 1, \lambda = 0 \Rightarrow 收敛$

【定理11.3】 狄利克雷(Dirichlet)判别法（一般）

有界， $\color{orange}单调趋于0$

【定理11.4】 阿贝尔(Abel)判别法（一般）

$\color{orange}收敛$ ，单调有界